[수리논리] 3. 명제 논리(Propositional Logic)

명제 논리는 원자 명제와 특정 접속사로 구성한다. 각 단어의 설명은 하단을 따른다.

• 더 이상 쪼개어질 수 없는 작은 명제를 원자 명제라 하고 각 원자 명제와 주어부는 일반적인 상황에서 볼드체 큰 음소문자로 대신 표기한다.
• 특정 접속사로는 "아니고", "그리고", "또는", "만약... 이면...이다.", "만약.... 와.... 이 둘 다 거짓이거나 참이면 참이다."등이 있다.

여기서 사용하는 접속사는 "연산자"로 지칭하며 특성과 기호는 다음 표를 따른다.

접속사(Connective)	기호(Symbol)	설명(Description)
부정(Negation)	¬, ~, !	NOT, 부정, "아니고"
결합(Conjugation)	∧, •, &	AND, 논리곱, "그리고"
분리(Disjunction)	∨, +, ǀǀ	OR, 논리합, "또는
가정(Conditional)	⇒, →, ⊂	If ... then, "만약 ....이면 ....이다."
동치(Biconditional)	⇔, ≡, ↔	If and only if, means the same as.

그 외 기호는 다음과 같다.

기호(Symbol)	설명(Description)
⊤, T, 1	Tautology, True, 항진, 항상 참
⊥, F, 0	Contradictioin, False,모순, 항상 거짓
≔, ≡, :⇔	Definition, 정의
(  )	Precedence Grouping, 우선집단, 괄호안의 연산을 먼저 수행
⊢	Turnstile, Prove,증명하다,우항은 구문 결과를 나타냄
⊨	Double Turnstile, Models,우항은 의미론적 결과를 나타냄
∵	Becuase, 이유,왜냐하면
∴	Therefore, 결론,그러므로

임의의 명제 P와 Q를 사용하여, 위에 소개된 각 연산자를 구성해서 새로운 명제를 만들고, 전제의 참과 거짓에 따른 결론을 표기하면, 아래 표와 같다. 아래 표와 같이 전제의 참과 거짓에 따라 결론의 참과 거짓을 나타내는 표를 진리표(Truth Table)라 한다.

P	Q	¬ P	P ∧ Q	P ∨ Q	P →※ Q	P ↔ Q
0	0	1	0	0	1	1
0	1	1	0	1	1	0
1	0	0	0	1	0	0
1	1	0	1	1	1	1

※가정 연산의 정의는 다음과 같다.

\( v(Q \rightarrow P) = \begin {Bmatrix}
0, \;if \;v(P)=1,\; v(Q)=0\\ 
1,\;\;\; otherwise
\end {Bmatrix} \)

 

앞서 언급한 간접 추론 방법을 논리 기호로 표기하면 다음과 같다.

명법법	추론 규칙 수식	추론 규칙 명제	항진 명제 수식
긍정논법 (Modus Ponens)	∵P, ∵P→Q ∴Q	전제: P이다. 전제: P이면 Q이다. 결론: Q이다.	(P∧(P→Q))→Q
부정논법 (Modus Tolles)	∵~Q, ∵P→Q, ∴~P	전제: Q가 아니다. 전제: P이면 Q이다. 결론: P가 아니다.	(~Q∧(P→Q))→~P
가설적 삼단논법 (Hypothetical Syllogism)	∵P→Q, ∵Q→R, ∴P→R	전제: P이면 Q이다. 전제: Q이면 R이다. 결론: P이면 R이다.	((P→Q)∧(Q→R))→(P→R)
논리합 삼단논법	∵P∨Q, ∵~P, ∴Q	전제: P이고 Q이다. 전제: P가 아니다. 결론: Q이다.	((P∨Q)∧(~P))→Q
가산 논법 (Disjunction addition)	∵P, ∴P∨Q	전제: P 이다. 결론: P이고 Q이다.	P→(P∨Q)
단순화 논법 (Simplication)	∵P∧Q, ∴P	전제: P이고 Q이다. 결론: P이다.	(P∧Q)→P
논리곱 논법	∵P, ∵Q, ∴(P∧Q)	전제: P이다. 전제: Q이다. 결론: P이고 Q이다.	((P)∧(Q))→(P∧Q)
융해법	∵P∨Q, ∵~P∨R, ∴(Q∨R)	전제: P이거나 Q이다. 전제: P가 아니거나 R이다. 결론: Q이거나 R이다.	((P∨Q)∧(~P∨R))→(Q∨R)

예시로 "모든 사람이 필멸이고, 아리스토텔레스는 사람이기 때문에 아리스토텔레스는 필멸이다."라는 명제를 명제 논리로 표현하면 다음과 같다.

 

P:= 모든 사람은 필멸이다.

Q:= 아리스토텔레스는 사람이다.

R:= 아리스토텔레스는 필멸이다.

∵P ∧ Q

∴R

((P ∧ Q) → R)

 

P, Q 모두가 참일 때 명제 R은 참이 된다. 이처럼 명제 간 관계를 객관적으로 표현하기에 명제 논리는 알맞다. 하지만 각 주어부와 술어부의 관계를 알지 못하므로 P에서 Q로, Q에서 R로 추론된 과정을 표기할 수 없다. 술어 논리(Predicate Logic)는 명제 논리와 다르게 명제 자체에 대하여 서술할 수 있게끔 발전하였다.

 

참고 문헌

1. MOSLEY, Albert; BALTAZAR, Eulalio. An Introduction to Logic: From Everyday Life to Formal Systems. 2019.

참고 사이트

1. Wikipedia contributors. Principia Mathematica [Internet]. Wikipedia, The Free Encyclopedia; 2022 Aug 9, 22:27 UTC [cited 2022 Aug 17]. Available from: https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Principia_Mathematica&oldid=1103499214.
2. Wikipedia contributors. List of logic symbols [Internet]. Wikipedia, The Free Encyclopedia; 2022 May 24, 23:21 UTC [cited 2022 Aug 17]. Available from: https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=List_of_logic_symbols&oldid=1089645787.
3. Geoff Pilling, Agnishom Chattopadhyay, Kuldeep Guha Mazumder, and 7 others contributed, Propositional Logic [Internet] , BRILLIANT; 2022 Jul 18, 19:12 UTC [cited 2022 Aug 15]. Available from:https://brilliant.org/wiki/propositional-logic/